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08.04 爺になってからの行列

1999年以降の映画に多大な影響を与えた「マトリックス(The Matrix)」(監督・脚本ウォシャウスキー兄弟で主演はキアヌ・リーブス)という映画がありました。GGEも以前から申しあげているように還暦過ぎた「本物の爺」なので当然ながら映画も3部作すべて観ましたしDVDも持っています。そして21世紀2018年の今も「マトリックス」というのは映画の題名なので変化はありませんが、現実の世界では「特定の分野で」変化があったのはご存知でしょうか? 

Matrixというのは数学用語で「行列」といいますが、こちらのカタカナ表記は現在「マトリクス」(小さい””がなくなった)になってきたようです。 今回はそんな「行列」を復習してみたいと思います。

とはいえ高校の数学で行列やらベクトルやらを習ったときに「こんなのどこに使うの?」と思っていませんでしたか?

ですので、「爺になってからの行列」では、今回使用するところだけを、掻い摘んでご説明しておこうと思います。というのも、このように画面内で「物を動かす」場合、三角関数と行列が必ず必要になりますが、ゲームやシミュレーションの場合高校時代ののように「公式」を覚えるだけでは何の役にも立たず「こうしたい時には、このような技術を使用する」といった発想の転換が必要になります。まずは軽く行列とは何か見ていきましょう。 これは連立一次方程式です。

{ x + 2 y = 1 2 x + 3 y = 2

これを行列にしてみると、こうなります。

1 2 2 3 x y = 1 2

ちなみに行列を解く方法の覚え方として「行」の右にある「」と「列」の右にある「」の形のように計算します。つまり
a b c d x y = ax + by cx + dy

a b c d e f g h = ae + bg af + bh ce + dg cf + dh

このように計算するわけです。 これだけ見ると公式だけ覚えさせられた高校時代と何の変りもありません。 
ちょっと見方を変えてみてはどうでしょう。


ここで映画マトリクスを見たことない方は一休みして早速DVD借りてみませんか?

皆さんが既に映画を見たという前提で話を進めます。
冒頭寝ているネオのパソコンのディスプレイにこんな文字が現れます。


Wake up,Neo... The Matrix has you...

Follow the white rabbit.


Knock, knock, Neo.




ネオはウサギちゃんから受け取ったメールでトリニティに出会いモーフィアスを紹介されます。
そして某屋敷で、こんなことを告げられます。

「あなたが生きているこの世界は、コンピュータによって作られた仮想現実だ」

このまま仮想現実で生きるか、現実の世界で目覚めるかの選択を迫られます。



話変わって、現実の行列の解説に戻ります。

映画の場面と上の行列式は全く別物ではないのです。
上に書いた行列は「現在の事象」を「ある規則性」=「媒体」により「別の事象」に変えてしまっていることを意味します。
(x、y)というのは2次元の「現実」=「座標値」、4つの文字が「ある規則性」であり「媒体」、”=”の右隣が「別の事象」なのです。



★空間を回転する
では「現実の空間」を「別の空間」へ回転させた事例をご紹介します。
例えば円形の乗り物(以降ポッド)があるとします。中心から進行方向に向けて半径rの防御バリアーを張っていて、中心から進行方向に向けて分かりやすいように黒色矢印線を出しています。現在のその矢印先端がP(x,y)で同じ位置で矢印をθ2まで回転した場合にどうしたらよいでしょうか?

こんな時に「行列」を使用して次のように表記し計算すると位置が出てきます。

cos θ 2 - sin θ 2 sin θ 2 cos θ 2 x y = x cos θ 2 - y sin θ 2 x sin θ 2 + y cos θ 2


今後応用事例がいっぱい出てきますので覚えておいてください。
今回のテオ・ヤンセンリンク機構事例は、点を平行移動したり回転させたりして、計算した通りの場所に点や線を描くことが目的となります。


【特記】
GGEは数十年前に歴史もののホームページを作成しておりましたが、現在はHTMLのバージョンがかなり上がりました。 今回バージョンアップを思い知らされたのが、映画マトリックスの下りの中に”■”をブリンクさせる際に、以前は文章の前後に<blink></blink>を付けることで成立していましたが、今回NGでした。新しいバージョンでは<blink>が廃止されていました。 どうでもよいことなんですが、一応この問題もクリアしてみました。


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